2. 关系模型

关系模型 (Relational Model) 笔记

1. 基本概念

关系数据库是基于关系模型的，其核心是将数据组织在一系列的二维表中。

• 域 (Domain): 属性的允许值集合，例如 customer_names, account_numbers 。每个值都是原子的，即不可再分的 。
  
• 关系模式 (Relation Schema): 定义了一张表的结构，包括关系名和属性列表。
  • 示例: Customer_schema = (customer_name, customer_street, customer_city) 。
    
• 关系实例 (Relation Instance): 特定时刻表中的数据，是一个元组（行）的集合 。
  
• 元组 (Tuple): 表中的一行，代表一组相关的数据值 。
  
• 属性 (Attribute): 表中的一列，代表元组中的一个特定属性 。

重要特性:
- 关系内的元组顺序无关 。
- 属性的顺序也无关紧要，通过属性名来引用 。

2. 键 (Keys)

键用于唯一标识和关联表中的数据。

• 超码 (Superkey): 一个或多个属性的集合，其值可以唯一标识关系中的一个元组 。
  
• 候选键 (Candidate Key): 最小化的超码，即移去任何一个属性后就不再是超码 。
  
• 主键 (Primary Key): 从一个或多个候选键中选出的一个，用作元组的主要标识符 。
  
• 外键 (Foreign Key): 一个关系中的属性（或属性集），其值引用了另一个关系的主键，用于建立表之间的联系 。
  
• 参照完整性约束 (Referential Integrity): 强制要求外键的值要么必须匹配被引用关系中某个元组的主键值，要么为 NULL 。

3. 关系代数 (Relational Algebra)

这是一种过程化查询语言，通过组合一系列运算来构建查询。

3.1 基础运算

• 选择 (Select - ): 选取满足特定条件的元组（行）。
  • 语法: ，其中 是选择条件，r是具体的表格
    
  • 示例: - 选择 instructor 表中所有在物理系的教师。
• 投影 (Project - ): 选取特定的属性（列）。
  • 语法: ，其中 是属性列表。
    
  • 示例: - 从 instructor 表中选择ID、姓名和薪水这三列。
• 并集 (Union - ): 合并两个关系的元组，并自动去除重复行。
  • 语法:
• 差集 (Set Difference - ): 返回存在于第一个关系但不存在于第二个关系中的元组。
  • 语法:
• 笛卡尔积 (Cartesian Product - ): 将两个关系的每一行进行组合。
  • 语法:
• 重命名 (Rename - ): 改变关系或其属性的名称。
  • 语法: 将表达式 E 的结果重命名为 x。

3.2 附加运算 (Additional Operations)

这些运算虽然可以由基础运算组合而成，但因为常用，所以被定义为独立的运算符。

交集 (Set Intersection - )

• 目的: 找出同时存在于两个关系（表）中的元组（行）。
  
• 语法:
  
• 解释: 返回的结果集中包含了所有既属于关系 又属于关系 的元组。
  
• 约束: 参与运算的两个关系必须是并兼容的（即它们具有相同数量的属性，并且对应属性的域也相同）。
  
• 示例: 假设有两个课程列表，一个是秋季学期开设的课程 (FallCourses)，另一个是春季学期开设的 (SpringCourses)。要找出两个学期都开设的课程：
  Π_course_id(FallCourses) ∩ Π_course_id(SpringCourses)

3.2.1 自然连接 (Natural Join - )：像拉拉链一样合并信息

• 核心思想： 把两张有共同点的表，像拉链一样合并成一张更详细的表。

• 生活中的例子：
  假设你有两张清单：

  1. 同学名单 (instructor 表)
     
  2. 班级信息表 (department 表)

  instructor (教师表)
  | ID | name | dept_name |
  | :— | :— | :— |
  | 10101 | Srinivasan | Comp. Sci. |
  | 12121 | Wu | Finance |
  | 32343 | El Said | History |

  department (院系表)
  | dept_name | building |
  | :— | :— |
  | Comp. Sci. | Taylor |
  | Finance | Painter |

  这两张表的共同点是 dept_name（院系名称）这一列。

• 运算过程：
  执行自然连接 instructor ⋈ department 时，数据库会：

  1. 找到两个表中同名的列 (dept_name)。
     
  2. 将 instructor 表中的每一行，与 department 表里 dept_name 值相同的那一行进行“拼接”。
     
  3. 拼接后的新表中，dept_name 这一列只保留一个，不会重复出现。

• 结果 (一张更详细的表):
  | ID | name | dept_name | salary | building |
  | :— | :— | :— | :— | :— |
  | 10101 | Srinivasan| Comp. Sci. | 65000 | Taylor |
  | 12121 | Wu | Finance | 90000 | Painter |

注意：History 系的 “El Said” 老师没有出现在结果里，因为 department 表中没有 “History” 这一行，无法匹配。自然连接只保留能成功匹配的行。

3.2.2 除法 (Division - ÷)：查找“全能冠军”

• 核心思想： 找出那些满足了所有条件的记录。专门用来回答带有“所有”、“每一个”这类词的问题。

• 生活中的例子：
  假设你有一个记录所有学生选课情况的表格，和一个记录了“核心必修课”的清单。

  1. 学生选课总表 (r)
  | StudentID | Course |
  | :— | :— |
  | 101 | 数学 |
  | 101 | 物理 |
  | 101 | 英语 |
  | 102 | 数学 |
  | 102 | 英语 |
  | 103 | 物理 |

  2. 核心必修课清单 (s)
  | Course |
  | :— |
  | 数学 |
  | 物理 |

  问题： 哪些学生选修了所有的核心必修课？
  运算： (学生选课总表) ÷ (核心必修课清单)

• 运算过程：

  1. 系统先看清单 s，要求是必须同时拥有“数学”和“物理”的记录。
     
  2. 然后去总表 r 里检查每个学生：
     • 学生101: 选了数学吗？选了。选了物理吗？选了。✅ 满足所有条件。
       
     • 学生102: 选了数学吗？选了。选了物理吗？没选。❌ 不满足所有条件，被排除。
       
     • 学生103: 选了数学吗？没选。❌ 不满足所有条件，被排除。

• 结果 (全能冠军的名单):
  | StudentID |
  | :— |
  | 101 |

  最终结果就是学生 101，因为只有他满足了“一个都不能少”的条件。

赋值 (Assignment - )

• 目的: 将一个复杂的查询表达式的结果保存到一个临时的关系变量中，以便在后续的查询中重复使用。这使得复杂查询的步骤更清晰。
  
• 语法: temp_relation ← expression
  
• 示例: 找出所有在 “Physics” 系且薪水超过 的教师姓名。
  1. high_paid_physics_profs ←
     
  2. result ←

---

3.3 扩展运算 (Extended Operations)

这些运算提供了更强大的数据处理和计算能力。

广义投影 (Generalized Projection)

• 目的: 允许在投影操作中进行计算或重命名列。
  
• 语法:
  
• 解释: 与基本投影不同，这里的 不仅可以是属性名，还可以是涉及属性、常量和算术运算符（+, -, *, /）的表达式。
  
• 示例: 给所有教师涨薪10%，并显示他们的ID、姓名和新薪水。
  

外连接 (Outer Join)

• 目的: 在连接操作中保留那些在另一个关系中没有匹配项的元组，用 NULL 填充缺失的属性值。
  
• 左外连接 (Left Outer Join - ⟕):
  • 语法:
    
  • 解释: 返回两个关系自然连接的结果，并加上关系 中所有在关系 中找不到匹配的元组（右侧属性填充为 NULL）。
    
  • 示例: instructor ⟕ teaches 会列出所有教师，即使某个教师没有授课记录。对于没有授课的教师，course_id, sec_id 等来自 teaches 表的字段将为 NULL。
    
• 右外连接 (Right Outer Join - ⟖):
  • 语法:
    
  • 解释: 与左外连接相反，保留右侧关系 中的所有元组。
    
• 全外连接 (Full Outer Join - ⟗):
  • 语法:
    
  • 解释: 保留两个关系中的所有元组，无论它们是否有匹配。没有匹配的部分用 NULL 填充。

4. 数据库修改

• 删除 (Deletion): 使用差集运算 来删除满足条件的元组 。
  
• 插入 (Insertion): 使用并集运算 来添加元组 。
  
• 更新 (Update): 通过广义投影实现，可以对属性值进行计算和修改 。

5. NULL 值处理

• 定义: NULL 表示值未知或不存在 。
  
• 运算: 任何涉及 NULL 的算术运算结果仍为 NULL。
  
• 比较: NULL 值的比较结果为 unknown。
  
• 聚集函数: 通常会忽略 NULL 值 。

例题：找出薪水最高的员工姓名

三张表：
employee(ID, person_name, street , city)

works(ID, company_name, salary)

company(company_name,city)

分步实现：

1. 第一步：找出所有低于最高薪水的薪水值集合。

   • 为了比较 works 表自身，我们创建两个副本并重命名：w1 和 w2。
     
   • 然后找出所有 w1.salary < w2.salary 的情况，并投影出 w1.salary。

2. 第二步：用所有薪水的集合减去“非最高薪水”的集合，得到最高薪水。

   • 首先获取所有薪水的集合：
     
   • 然后执行差集运算。
   • 此时，Max_Salary 这个临时关系里只包含一个值：最高的薪水。

3. 第三步：利用最高薪水值，通过自然连接找到对应员工的姓名。

   • 首先找到拥有最高薪水的员工的记录（包含ID）。
     
   • 然后与 employee 表连接以获取姓名。

完整的关系代数表达式

如果将以上步骤合并成一个表达式，会是这样：